خرید ارزان یک الگوریتم موازی و ساده برای مساله ی کوتاهترین مسیر تک-منبع بر روی گراف مسطح 21 ص

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
دسته بندی : وورد
نوع فایل : Word (..docx) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )
تعداد صفحه : 23 صفحه

قسمتی از متن Word (..docx) :

دانشگاه شریف دانشکده ی مهندسی کامیپوتر مقاله ی درسی پردازش موازی عنوان یک الگوریتم موازی و ساده برای مساله ی کوتاهترین مسیر تک-منبع بر روی گراف مسطح چکیده در این مقاله یک الگوریتم ساده برای مسئله ی کوتاهترین مسیر تک-منبع در یک گراف مسطح با یالهای با وزن غیر منفی ارائه خواهیم داد. الگوریتم مزبور در زمان
و با انجام
،
، عمل بر روی مدل EREW PRAM اجرا می شود. نقطه قوت الگوریتم در سادگی آن است که آنرا برای پیاده سازی و استفاده ، در عمل بسیار کارامد می سازد. در این مقاله ساختار داده هایی برای پیاده سازی این الگوریتم بر روی EREW PRAM ارایه شده است. می توان این الگوریتم را با انجام تغییراتی بر روی مدل برنامه نویسی MPI به سادگی پیاده کرد. الگوریتم ما بر اساس ناحیه بندی گراف ورودی و استفاده از روش موازی الگوریتم دایسترا ، بنا شده است. 1 مقدمه مساله ی کوتاهترین مسیر یک مساله ی زیربنایی و مهم در بهینه سازی ترکیبیاتی است که از ارزش عملی و تئوری زیادی برخوردار است. برای یک گراف جهت دار
که شامل n راس و m یال است، مساله ی کوتاهترین مسیر عبارت است از پیدا کردن یک مسیر با کمترین وزن بین هر دو راس u و v که در مجموعه ی راسها وجود دارند. وزن مسیر u-v برابر مجموع وزن یالهای بین آنهاست. وزن کوتاهترین مسیر بین u-v ، فاصله از u تا v نامیده می شود. مساله ی کوتاهترین مسیر، بر حسب جفت راسهای u و v و نحوه ی وزن گذاری یالهای گراف به گونه های مختلفی تقسیم می شود. اگرچه الگوریتم های سریال کارا برای بیشتر این گونه مسایل وجود دارند اما هنوز فقدان یک الگوریتم موازی کارا برای آن احساس می شود؛ الگورتیم کارا ، یعنی الگوریتمی که میزان کار انجام شده توسط آن برای حل مساله معادل یا نزدیک به تعداد کاری باشد که توسط بهترین الگوریتم سریال لازم است (منظور از کار، مجموع تمام کارهایی است که توسط پروسسورها انجام می شود). طراحی یک الگوریتم کارا برای مساله ی کوتاهترین مسیر ، یک مساله ی حل نشده ی مهم را در پردازش موازی تشکیل می دهد. یکی از دلایل ممکن برای نبود چنان الگوریتمی می تواند این باشد که بیشتر تاکیدها بر روی به دست آودردن یک الگوریتم خیلی سریع (یعنی NC) قرار گرفته است. به هر حال در اغلب موقعیتهای عملی، که تعداد پروسسورهای موجود ثابت و خیلی کوچکتر از اندازه ی مساله ای است که در دست داریم ، هدف اصلی و ابتدایی ما اینست که یک الگوریتم work-efficient (به جای الگوریتم خیلی سریع) داشته باشیم؛ چرا که در چنان مواردی زمان اجرا بر کاری که بین پروسسورها تقسیم می شود غالب است. اگر چنان الگوریتمی سایر پارامترهای خاص مانند سادگی و پیاده سازی راحت را داشته باشد از اهمیت ویژه ای برخوردار خواهد بود. یکی از گونه های مهم مساله ی کوتاهترین مسیر ، مساله ی کوتاهترین مسیر تک-منبع یا درخت کوتاهترین مسیر است : با داشتن یک گراف جهت دار
که شامل n راس و m یال و یک راس
مشخص که منبع نامیده می شود، است، مساله ی ما عبارت است از پیدا کردن کوتاهترین مسیر از s به تمام راسهای دیگر در G . مساله ی کوتاهترین مسیر تک-منبع یک راه حل سریال کارا دارد مخصوصا وقتی که G هیچ راس منفی نداشته باشد. در این مورد مساله می تواند توسط الگوریتم دایسترا در زمان
با استفاده از هیپ فیبوناچی یا یک ساختار داده ی صف اولویت با زمان حدی مشابه، حل شود[2] . در این مقاله ما برای مساله ی کوتاهترین مسیر تک-منبع بر روی یک گراف مسطح G با وزن یال حقیقی و غیرمنفی ، یک الگوریتم ساده ارایه می دهیم که پیاده سازی آن راحت است. با مصالحه ای بر زمان اجرا ، الگوریتمی (قطعی) ارایه می دهیم که از لحاظ work-efficiency بهبودی بر الگوریتمهای قبل از آن باشد. این الگوریتم که با جزییات کامل و اثبات در [1] ارایه شده است. در اینجا ما آن الگوریتم را با توضیحات بیشتر توضیح می دهیم. به طور دقیقتر الگوریتم مزبور بر روی EREW PRAM در زمان
و با انجام
عمل ، اجرا می شود که
. مانند الگوریتمهای کوتاهترین مسیر تک-منبع قبلی ، الگوریتم حاضر بر اساس ناحیه بندی گراف و تبدیل مساله به یک دسته از مسایل کوتاهترین مسیر بر روی ناحیه ها، عمل می کند. عملکرد الگوریتم ما به این صورت است که با داشتن یک ناحیه بندی از گراف، ما برای هر ناحیه الگوریتم دایسترا را بکار می بریم و در پایان ، الگوریتم دایسترا را بر روی گراف کمکی که با استفاده از اطلاعات کوتاهترین مسیر در نواحی ساخته شده ، اجرا می کنیم. جزییات این الگوریتم در بخشهای بعدی آمده است. با تولید کپی های مناسب و کافی از یالهای گراف ، از خواندن و نوشتن همزمان پروسسورها در حافظه جلوگیری می شود. همانطور که گفتیم ما در الگوریتم خود نیازمند یک ناحیه بندی از گراف ورودی هستیم که برای محاسبه ی این ناحیه بندی ، ما یک پیاده سازی EREW PRAM از الگوریتم ارائه شده در [3] را ارایه می دهیم. این پیاده سازی خاص، یک ناحیه بندی از گراف مطابق با نیاز الگوریتم ما را محاسبه می کند. در این الگوریتم هم فرض می شود که گراف ورودی مسطح است. مهمترین امتیاز الگوریتم ما سادگی آن است که پیاده سازی آنرا راحت می کند، طوری که پیاده سازی آن بر اساس روتینهای زیربنایی و قابل فهم ، همانطور که در ادامه گفته خواهد شد، استوار است که می توان آنها را در همه ی کتابخانه های الگوریتمهای موازی یافت. می توان این الگوریتم را با انجام تغییراتی بر روی مدل برنامه نویسی MPI به راحتی پیاده کرد. ذکر این نکته حایز اهمیت است که برای ماشینی که اجازه ی خواندن و نوشتن همزمان را می دهد، الگوریتم ما می تواند به طرز قابل توجهی ساده تر شود؛ بخاطر اینکه دیگر ایجاد کپی های فراوان از گراف ورودی برای خواندن همروند لازم نیست. ما در بخش بعدی ، تعاریف را ارایه می دهیم و برخی از نکات ابتدایی در مورد جداساز ها (separator) و ناحیه بندی گراف مسطح را بیان می کنیم. الگوریتم ما در بخش 3 ارایه شده است. در بخش 4 هم جزییات مربوط به پیاده سازی بدست آوردن یک ناحیه بندی از گراف را توضیح می دهیم. در بخش 5 در مورد پیاده سازی الگوریتم بر روی MPI صحبت می کنیم. نتیجه گیری و جمع بندی هم در بخش 6 ارایه شده است. 2 مقدمات اولیه در ادامه ی این مقاله فرض کنید
یک گراف جهت دار مسطح با وزن یالهای حقیقی و غیر منفی است که
راس و
یال دارد (گراف را مسطح در نظر گرفتیم). در ادامه وقتی ما در مورد خصوصیات جداساز گراف G صحبت می کنیم، ما به گراف غیرجهت دار G اشاره داریم که با حذف جهت از یالهای آن به دست می آید (یعنی جداساز را بر روی گراف غیرجهت دار پیدا می کنیم). اما وقتی ما در مورد کوتاهترین مسیر صحبت می کنیم، به هر حال ما جهت یالها را به حساب می آوریم. تعریف 1 جداسازِ یک گراف
، برابر است با زیر مجموعه ای مانند C از
، که بخشهای حذف شده از
را به دو زیر مجموعه ی جدا از هم A و B تقسیم می کند، بطوری که هر مسیر از یک راس در A به یک راس در B ، حداقل شامل یک راس از C باشد. به هر کدام از راسهای گراف یک عدد نسبت می دهیم و به آن ارزش راس می گوییم. ارزش هر راس را برابر
در نظر می گیریم که n برابر تعداد راسهای گراف است. این برای آن است که هنگام تقسیم گراف به بخش های جدا از هم آنرا بصورت متوازن تقسیم کنیم. فرض کنید
، نشان دهنده ی ارزش راس
باشد. آنگاه ارزش زیرمجموعه ی
، بصورت
نشان داده خواهد شد . در شکل 1 یک جداساز نمونه برای گراف نشان داده شده است. Lipton و Tarjan در قضیه ی زیر ، [4] ، نشان دادند که اندازه ی جداساز گراف می تواند کوچک باشد. قضیه 1 (قضیه ی جداساز مسطح) فرض کنید
یک گراف n راسی مسطح است با ارزش های غیرمنفی بر روی راسهای آن که مجموع آنها برابر 1 است؛ آنگاه یک جداساز S برای G وجود دارد که V را به دو مجموعه ی
و
تقسیم می کند ، به طوری که
و هر کدام از
و
، حداکثر مجموع ارزش
را دارند.
شکل 1 . یک جداساز برای گراف که نودهای آن با رنگ خاکستری نشان داده شده اند. ما جداساز S را یک جداسازِ
برای G می نامیم. تعریف 2 ناحیه بندی یک گراف یعنی تقسیم بندی راسهای گراف به نواحی جداگانه ، بطوریکه : (1) هر راسی یا درونی باشد، یعنی متعلق به دقیقا یک ناحیه باشد، یا مرزی باشد، یعنی حداقل بین دو ناحیه مشترک باشد؛ (2) هیچ یالی بین دو راس درونی که متعلق به نواحی مختلف هستند، موجود نباشد. برای هر عدد صحیح
،
، یک تقسیم-r  گراف G ، یعنی تجزیه ی ناحیه ای G به
ناحیه، که هر ناحیه حداکثر
راس و حداکثر
راس مرزی داشته باشد (
و
ضریبهای ثابت هستند). شکل 2 یک ناحیه ی بندی نوعی برای یک گراف را نشان داده است.
شکل 2 . ناحیه بندی گراف به 3 ناحیه ی مجزا روالهای مورد نیاز الگوریتم ما عبارتند از: (1) الگوریتم دایسترا (نسخه ی سریال و موازی) که توسط یک ساختار داده ی هیپ (مثلا باینری هیپ) پیاده سازی شده است. (2) یک پیاده سازی استاندارد الگوریتم محاسبه ی پیشوند (یا پیشوند بخشی) و مرتب سازی؛ و (3) الگوریتم موازی جداساز مسطح که توسط Gazit و Miller در [5] ارایه شده ؛ نسخه ی پیاده سازی EREW PRAM این الگوریتم در بخش 4 داده شده است. دو زیرروال اصلی که توسط الگوریتم ما فراخوانی می شوند عبارتند از: (1) الگوریتم سریال دایسترا ؛ که ما آنرا در داخل الگوریتم خودمان ، بر روی گراف H با راس منبع s به صورت
، فراخوانی خواهیم کرد. (2) نسخه ی موازی الگوریتم دایسترا ؛ این الگوریتم بر روی گراف
در زمان
با استفاده از
پروسسور روی EREW PRAM اجرا می شود (که
و
) . برای فراخوانی الگوریتم دایسترای موازی ، برای
و راس مبدا s از عبارت
استفاده می کنیم. در اینجا فرض می کنیم که خواننده با الگوریتم دایسترا آشناست. برای یادآوری می توانید به [2] مراجعه کنید.