صفحه محصول - پاورپوینت کامل و جامع با عنوان تابع گرین و نظریه اشتورم

توضیحات

در ریاضیات، تابع گرین پاسخ ضربه یک معادلات دیفرانسیل ناهمگن در یک دامنه تعریف شده، با شرایط مرزی و اولیه مشخص می باشد. با بهره گیری از اصل برهمنهی (superposition principle)، کانولوشن تابع گرین با یک تابع دلخواه (f(x روی همان دامنه، حل معادله دیفرانسیل ناهمگن برای (f(x می باشد.این تابع به نام ریاضی‌دان انگلیسی جورج گرین نام‌گذاری شده که نخستین بار در دههٔ ۱۸۳۰ این مفهوم را بیان کرد.

در ریاضیات و کاربردها، یک معادلۀ اشتورم-لیوویل کلاسیک، نام‌گذاری شده به نام ژاک شارل فرانسوا استورم (۱۸۵۵-۱۸۰۳) و جوزف لیوویل (۱۸۸۲-۱۸۰۹) یک معادلۀ دیفرانسیل خطی مرتبۀ دوم حقیقی به صورت

$-{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\left[p(x){\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y$ (معادله ۱)

است که در آن y تابعی از متغیر x می‌باشد. توابع $p(x)<0$ و $w(x)>0$ و $q(x)$ در ابتدا مشخص شده‌اند. در ساده‌ترین حالت، همۀ ضرایب در بازۀ متناهی $[a,b]$ پیوسته هستند و p دارای مشتق پیوسته است. در ساده‌ترین حالت، تابع y یک پاسخ خوانده می‌شود، اگر در $(a,b)$ به‌طور پیوسته مشتق‌پذیر باشد و معادلۀ بالا را در هر نقطه از بازۀ (a،b) ارضا نماید. علاوه‌براین، معمولاً تابع y باید در a و b برخی شرایط مرزی را ارضا کند. تابع (w(x که گاهی با (r(x نمایش داده می‌شود تابع وزن یا تابع چگالی نامیده می‌شود.

مقدار λ در معادله مشخص نیست. یافتن مقادیری از λ که به ازای آن مقادیر، پاسخی غیربدیهی(پاسخ بدیهی یعنی جواب حاصل برابر صفر شود و غیر بدیهی یعنی جواب حاصل ناصفر شود) برای معادلۀ ۱ که شرایط مرزی را نیز ارضا می‌کند وجود داشته باشد، جزئی از مسئله به نام مسئلۀ اشتورم-لیوویل است. ( S–L) problem) )

این مقادیر λ اگر موجود باشند، ویژه‌مقدارهای مسئلۀ مقدار مرزی تعریف شده توسط معادلۀ بالا و شرایط مرزی تعیین شده خوانده می‌شوند. پاسخ‌های متناظر به هر λ، ویژه‌تابع‌های مسئله نامیده می‌شوند.

تحت فرضیات آورده شده در بالا برای ضرایب، این معادله و ضرایب آن، یک عملگر دیفرانسیلی هرمیتی در یک فضای تابع تعریف شده با شرایط مرزی تعریف می‌کنند. نظریه بررسی وجود و رفتار مجانبی ویژه‌مقدارها، بررسی کیفی ویژه‌تابع‌ها و تمامیت آن‌ها در یک فضای تابع مناسب با نام نظریه اشتورم-لیوویل خوانده می‌شود. این نظریه در ریاضیات کاربردی بسیار مهم است و مسائل اشتورم-لیوویل بسیار معمول هستند، به خصوص هنگام روبه‌رو شدن با معادلات دیفرانسیل خطی با مشتقات پاره‌ای جدایی‌پذیر.

فهرست مطالب:

مسائل با مقدار مرزی همگن

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم

مسائل غير همگن تابع گرين

روش تغيير پارامترها

تعميم تابع گرين

مسائل با مقدار ويژه

مسائل اشترم و ليوويل

مسئله خود الحاق

مسائل منفرد

قضیه ها

اثبات قضایا